1. \(sin\theta+sin^2\theta=1\) হলে প্রমাণ করো \(cos^2\theta+cos^4\theta=1 \)

2. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:\) \((ax+by)=1\) হলে প্রমাণ করো, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)

3. \(a:b = c:d\) হলে, প্রমাণ করো \((a^2+c^2 )(b^2+d^2 )=(ab+cd)^2\)

4. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:p\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(p+1)^2}{p}=\cfrac{b^2}{ac}\)

5. \(x \propto y\) এবং \(y \propto z\) হলে প্রমাণ করো : \(x^2+y^2+z^2\propto xy+yz+zx\)

6. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো : \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

7. \(sin\theta + sin^2\theta = 1\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(cos^2\theta+cos^4\theta=1\) ।

8. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

9. \(cos\theta+\sqrt3 sin\theta=2\sin\theta\) হলে প্রমাণ করো \(sin\theta-\sqrt3 cos\theta=2\cos\theta\)

10. \(\cfrac{sin\theta}{x}=\cfrac{cos\theta}{y}\)হলে, প্রমাণ করো যে, \(sin\theta-cos\theta=\cfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

11. যদি \(sin\theta+cosec\theta\)=2 হয়, তাহলে প্রমাণ করো \(sin^{99}\theta+cosec ^{99}\theta\)=2

12. \( sin\theta +sin^2\theta=1 \)হলে, প্রমাণ করো \(cos^2\theta+cos ^4\theta=1 \)

13. \(A\) ও \(B\) পূরক কোণ হলে প্রমাণ করো : \(\cfrac{sinA+sinB}{cosB-cosA}=\cfrac{cosA+cosB}{sinA-sinB}\)

14. \(\cfrac{ay-bx}{c}=\cfrac{cx-az}{b}=\cfrac{bz-cy}{a}\) হলে প্রমাণ করো \(x:y:z=a:b:c\)

15. \(a : b = c : d\) হলে প্রমাণ করো : \(\cfrac{a+b}{a-b}\)=\(\cfrac{\sqrt{ac+ad+bc+bd}}{\sqrt{ac-ad-bc+bd}}\)

16. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো : \((b^2+d^2):(b^2-d^2)=(ab+cd):(ab-cd)\)

17. \( tan\theta+sin\theta=m\) এবং \(tan\theta-sin\theta=n\) হলে, প্রমাণ করো, \(m^2-n^2=4\sqrt{mn}\)

18. \(ABC\) ত্রিভুজের \(\angle A\) সমকোণ, \(CD\) মধ্যমা হলে প্রমাণ করো : \(BC^2=CD^2+3AD^2\)।

19. \( a : b = b : c\) হলে প্রমাণ করো \(\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{b-a}+\cfrac{1}{b-c}\)

20. প্রমাণ করো : \(\cfrac{sec\theta+tan\theta+1}{sec\theta-tan\theta+1}=\cfrac{cos\theta}{1-sin\theta}\)

21. \(O\) কেন্দ্রীয় বৃত্তের \(AC\) ব্যাস। \(ABC\) বৃত্তস্থ ত্রিভুজ এবং \(OP\bot AB\) হলে প্রমাণ করো \(OP:BC\)=1:2।

22. \(a:b:c = 2:3:5\) হলে \(\cfrac{2a + 3b- 3c}{c}\) এর মান নির্ণয় করো।

(a) \(=-\cfrac{2}{5}\) (b) \(=-\cfrac{3}{5}\) (c) \(=\cfrac{2}{5}\) (d) \(=\cfrac{3}{5}\)

23. \((b-c) x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো- \(a+c=2b\)

24. A এর 50% = B এর 60% = C এর \(\frac{4}{5}\) হলে A:B:C নির্ণয় করো।

25. \(a:b = 3:4\) এবং \(x:y =5:7\) হলে \((3ax-by) : (4by –7ax)\) এর মান নির্ণয় করো।

26. একটি অংশীদারি ব্যবসায় সমীর, ইদ্রিশ এবং অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত \(\frac{1}{6}:\frac{1}{5}:\frac{1}{4}\) বছরের শেষে ব্যবসায় মোট লাভ 3,700 টাকা হলে, অ্যান্টনির লাভ নির্ণয় করো।

27. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

28. প্রমাণ করো: \(1° < 1^c\)

29. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো, \((a^2+b^2+c^2 )(b^2+c^2+d^2 )=(ab+bc+cd)^2\) Madhyamik 2004

30. যদি \(cos^2⁡θ-sin^2⁡θ=tan^2⁡α\) হয়,তাহলে প্রমাণ করো \(cos^2⁡α-sin^2⁡α=tan^2⁡θ\)