\(\cfrac{ay-bx}{c}=\cfrac{cx-az}{b}=\cfrac{bz-cy}{a}\) হলে প্রমাণ করো \(x:y:z=a:b:c\)
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\(\cfrac{ay-bx}{c}=\cfrac{cx-az}{b}=\cfrac{bz-cy}{a}\)
∴ \(\cfrac{c(ay-bx)}{c^2} =\cfrac{b(cx-az)}{b^2} =\cfrac{a(bz-cy)}{a^2}\)
\(=\cfrac{c(ay-bx)+b(cx-az)+a(bz-cy)}{c^2+b^2+a^2}\)
[সংযোজন পক্রিয়া করে পাই]
\(=\cfrac{acy-bcx+bcx-abz+abz-acy}{a^2+b^2+c^2}\)\(=0\)
সুতরাং,\(\cfrac{ay-bx}{c}=0\)
বা, \(ay-bx=0\)
বা, \(ay=bx \)
বা, \(y=\cfrac{bx}{a}-----(i)\)
আবার, \(\cfrac{cx-az}{b}=0\)
বা, \(cx-az=0\)
বা, \(cx=az\)
বা, \(az=cx\)
বা, \(z=\cfrac{cx}{a}-----(ii)\)
\(\therefore x:y:z=x: \cfrac{bx}{a} : \cfrac{cx}{a}\)
\(=1:\cfrac{b}{a}:\cfrac{c}{a}\)
\(=a:b:c\) [প্রমানিত]