---

ধরি, PO সমতলে কোনো বিন্দু O-এর সাপেক্ষে একটি ঘুড়ি A বিন্দুতে AP=45 মিটার উচ্চতায় \(\angle\)AOP=45° উন্নতি কোণে এবং B বিন্দুতে BQ=60 মিটার উচ্চতায় \(\angle\)BOQ=60° উন্নতি কোণে উড়ছে ।

\(\triangle\)AOP এর \(\angle\)AOP=45° এবং AP=45 মিটার ।
\(\cfrac{AP}{PO}=tan 45^o\)
বা, \(\cfrac{45}{PO}=1\)
বা, \(PO=45\)

\(\triangle\)BOQ এর \(\angle\)BOQ=60° এবং BQ=60 মিটার ।
\(\cfrac{BQ}{OQ}=tan 60^o\)
বা, \(\cfrac{60}{OQ}=\sqrt{3}\)
বা, \(OQ=\cfrac{60}{\sqrt3}=\cfrac{60\sqrt3}{3}=20\sqrt3\)

\(\therefore PQ=PO-OQ=(45-20\sqrt3)\) মিটার ।

এখন A বিন্দু থেকে BQ এর ওপর লম্ব টানলে তা BQ কে C বিন্দুতে ছেদ করে ।
\(\therefore AC=PQ=(45-20\sqrt3)\) মিটার ।
এবং BC=BQ-CQ=BQ-AP=(60-45)মিটার=15 মিটার

এখন \(\triangle\)ABC থেকে পাই
\(AB^2=AC^2+BC^2\)
\(=(45-20\sqrt3)^2+(15)^2\)
\(=2025-2.45.20\sqrt3+(20\sqrt3)^2+(15)^2\)
\(=2025-1800\sqrt3+1200+225\)
\(=3450-1800\sqrt3\)

\(\therefore AB=\sqrt{3450-1800\sqrt3}\)
\(=\sqrt{150(23+12\sqrt3)}=5\sqrt{6(23+12\sqrt3)}\)

\(\therefore\) ঘুড়িটির ওই দুটি অবস্থানের মধ্যে দূরত্ব \(5\sqrt{6(23+12\sqrt3)}\) মিটার [প্রমাণিত]