---

ধরি,প্রথমে গোলকটির ব্যাসার্ধ ছিল \(R\) একক এবং কেটে নেওয়ার পর নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ হয় \(r\) একক

∴প্রথমে গোলকটির ক্ষেত্রফল ছিল \(=4πR^2\) বর্গ একক এবং কেটে নেওয়ার পর নতুন গোলকটির ক্ষেত্রফল হল \(=4πr^2\) বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে, \(4πr^2=\cfrac{1}{2}×4πR^2\)
বা, \(2r^2=R^2\)
বা, \(R^2=2r^2\)
বা, \(R=√2 r \)

প্রথমে সম্পূর্ন গোলকটির আয়তন ছিল \(=\cfrac{4}{3} πR^3\) ঘন একক এবং কেটে নেওয়ার পর নতুন গোলকটির আয়তন হয় \(=\cfrac{4}{3} πr^3\) ঘন একক


∴ অবশিষ্ট অংশের আয়তন
\(=\cfrac{4}{3} πR^3-\cfrac{4}{3} πr^3\) ঘন একক
\(=\cfrac{4}{3} π\{(√2 r)^3-(r)^3 \}\) [\( R=√2 r\) বসিয়ে ]
\(=\cfrac{4}{3} πr^3 (2√2-1)\) ঘন একক

∴কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত
\(=\cfrac{4}{3} πr^3 (2√2-1): \cfrac{4}{3} πr^3 \)
\(= (2√2-1):1\) (Answer)